ケプラーの第三法則と半長軸の解釈について

ケプラーの第三法則は、惑星の公転周期と軌道の半長軸に関する重要な法則です。しかし、質問者のように、半長軸と長軸が混同されることがあります。この記事では、ケプラーの第三法則の正しい理解と、半長軸がなぜ用いられるのかについて解説します。

ケプラーの第三法則とは？

ケプラーの第三法則は、天文学者ヨハネス・ケプラーが発見した法則で、惑星の公転周期（T）とその軌道の半長軸（a）の関係を示しています。具体的には、T² / a³ = 定数という式で表されます。この法則により、惑星が太陽の周りを回る速度とその軌道の大きさとの間に一定の関係があることがわかります。

半長軸と長軸の違い

ケプラーの第三法則で用いられる「a」は、惑星軌道の半長軸を指します。半長軸とは、楕円形の軌道の長さを2で割った値であり、惑星が太陽から最も遠い点と最も近い点を結んだ軸の半分の長さです。

一方、長軸は軌道の最も長い部分で、半長軸の2倍の長さにあたります。このため、長軸を用いることは一般的にはありません。

ケプラーの法則と万有引力から導いた式

ケプラーの第三法則は、万有引力の法則と結びつけて理解することができます。万有引力による惑星の公転を考えると、ケプラーの法則は次のように導かれます：
T² = (4π² / GM) × a³

ここで、Gは万有引力定数、Mは太陽の質量です。この式からもわかるように、ケプラーの第三法則における「a」は半長軸であり、長軸ではありません。

半長軸が用いられる理由

ケプラーの第三法則で「a」として半長軸が使われる理由は、楕円軌道の中心的な特徴を表すためです。半長軸は楕円軌道の「平均的な大きさ」を示すため、計算上便利であり、天文学的な観測でも重要な役割を果たします。

また、仮に長軸を使うと、計算が複雑になり、誤解を招く可能性があるため、慣習的に半長軸が用いられているのです。

まとめ

ケプラーの第三法則においては、「a」は惑星軌道の半長軸を意味します。長軸を使っても式自体は成立しますが、天文学では半長軸が使われるのが一般的です。万有引力の法則と結びつけて考えると、ケプラーの法則の理解が深まり、なぜ半長軸が使われるのかが明確になります。