積分の問題解説：自然数nに対するaₙの求め方と漸化式

この問題では、自然数nに対するaₙの値を求める問題を解説します。まず、aₙは積分式で定義され、与えられた三角関数の関係式を使って計算します。今回は、aₙの計算過程を解説し、漸化式による関係や、lim［n→∞］aₙの求め方についても説明します。

a₁の求め方

a₁は次の積分式で求められます。まず、問題文にあるように、a₁ = ∫［0〜π/4］(tan²x)dxとなります。この積分を解くために、tan²xを三角関数の相互関係を使って展開します。

tan²x = (1/cos²x) – 1と置き換えると、積分式は次のようになります。

∫［0〜π/4］(1/cos²x – 1)dx = ∫［0〜π/4］(1/cos²x)dx – ∫［0〜π/4］1dx

この積分を実行すると、結果としてa₁ = 1 – π/4が得られます。

aₙ₊₁の式は次のように表されます。aₙ₊₁ = ∫［0〜π/4］(tanx)²ⁿ⁺²dxを、三角関数の相互関係を使って展開すると、次のように計算できます。

まず、tan²x = (1/cos²x) – 1を使い、次のような式を得ます。

∫［0〜π/4］((1/cos²x) – 1)(tanx)²ⁿ dx = ∫［0〜π/4］(1/cos²x)(tanx)²ⁿ dx – ∫［0〜π/4］(tanx)²ⁿ dx

この結果を使って、最終的にaₙ₊₁は次のように表されます。

aₙ₊₁ = 1/(2n+1) – aₙ

lim［n→∞］aₙを求めるために、まず積分区間で積分できる関数で挟みます。x ≦ tanx ≦ (4/π)xという範囲で、積分の上限と下限を比較します。

この場合、左辺と右辺を積分すると、次のような式が得られます。

1/(2n+1) × (π/4)²ⁿ⁺¹ < aₙ < 1/(2n+1) × (π/4)

このようにして、はさみうちの原理を使ってlim［n→∞］aₙ = 0を求めることができます。

最後に、Σ［k=1〜n］(-1)^(k+1)/(2k-1)を求める問題です。ここで、漸化式aₙ + aₙ₋₁ = 1/(2n-1)を使い、次のように式を展開します。

Σ［k=1〜n］(-1)^(k+1)aₖ + Σ［k=1〜n］(-1)^(k+1)aₖ₋₁という形に変形し、bₖとおくことで、Σ［k=1〜n］(bₖ₋₁ – bₖ)と表現できます。

これにより、最終的にlim［n→∞］Σ［k=1〜n］(-1)^(k+1)/(2k-1) = π/4が得られます。

この問題を通じて、aₙを求める方法や漸化式の扱い方、さらにlim［n→∞］aₙの求め方を学びました。積分や漸化式をうまく利用し、限界の値を求めることで、複雑な問題を解くことができます。