複素平面における円の方程式を表す際に、一般的な形としては|z| = rのように絶対値を使った表現が多く見られますが、x^2 + y^2 = r^2という形で表現しても問題ないかについて考えます。この記事では、この2つの表現方法の違いや、その使い分けについて解説します。
複素平面における円の方程式とは？
複素平面上での円の方程式は、一般的に|z – c| = rという形で表されます。ここでzは複素数、cは円の中心となる複素数、rは円の半径を意味します。この形式では、複素数zを実部xと虚部yで表すことができ、結果としてx^2 + y^2 = r^2の形にも変換可能です。
絶対値の形式とx^2 + y^2 = r^2の関係
複素数z = x + iyにおいて、|z|はその絶対値を示し、これは直感的に言えば複素平面上で原点からzまでの距離を表しています。したがって、|z| = rという方程式は、原点から半径rの距離にある点の集合、つまり円を表すことになります。これを実部x、虚部yの式で書き換えると、x^2 + y^2 = r^2という形になります。
どちらの形を使うべきか？
問題文で|z| = rの形が示されていない場合でも、x^2 + y^2 = r^2の形にしても誤りにはなりません。実際、両者は同じ円を表しているため、どちらの形式を使っても問題はないと考えられます。ただし、|z| = rの形式は、複素数を用いた問題でよく使われるため、複素数に慣れている場合はその形式を使用するのが一般的です。
まとめ
複素平面での円の方程式は、|z| = rの形で表現するのが一般的ですが、実部と虚部を使ってx^2 + y^2 = r^2という形式で表現しても問題ありません。どちらの形式を使用しても円を正しく表すことができるため、問題文の指示に従って適切な表現を選びましょう。
コメント