微分可能な関数において、極値を持つための条件と、極値を持たない条件についての問題は、微分積分学における重要なテーマです。この記事では、関数が極値を持たない条件がどのように導かれるのか、またその証明の過程を解説します。
極値を持つ条件とその定義
関数f(x)が極値を持つ条件として、次のような関係が成り立っています。
f'(a) = 0 かつ、aでf'(x)の符号が変化する。
この条件は、極値の存在を示すために十分な条件として一般的に知られています。すなわち、f'(a)が0で、aの前後で導関数の符号が変わる場合、その点aで極値が存在することが分かります。
極値を持たない関数の条件
次に、関数が極値を持たないための条件について考えます。極値を持たない場合、以下の2つの条件が成り立つことが分かります。
- すべての実数aで、f'(a) ≠ 0
- f'(a) = 0でも、aでf'(x)の符号が変化しない
つまり、関数の導関数がゼロであっても、その点で符号が変わらない場合、極値は存在しないことになります。これが極値を持たない関数の基本的な条件です。
極値を持たない条件の証明と②の関係
質問者が提示した「極限を持たない条件」とは、実際には関数の導関数がゼロになることなく、またその導関数の符号が変化しない場合を指します。これを条件②として表現すると次のようになります。
f'(x)がゼロになる実数xがないか、またはf'(x)が常にf'(x)≧0またはf'(x)≦0が成り立つ。
これを言い換えると、導関数がゼロになることなく常に同じ符号であり、また符号の変化がないことが極値を持たない条件として正当化されます。この点において、極値を持たない条件と②が一致することが確認できます。
なぜ②が成り立つのか
条件②では、導関数が常に非ゼロであり、かつ符号が一定であることが求められます。この場合、関数は単調増加または単調減少しており、極値を持つことはありません。極値を持つためには、関数の導関数がゼロになり、符号が変わる必要がありますが、条件②ではそのような変化が起こらないため、関数は極値を持たないことになります。
まとめ
極値を持つための条件と持たないための条件について、微分を用いて理解することができます。極値を持つためには、f'(a) = 0かつ符号が変化する必要があり、極値を持たないためには、f'(a) ≠ 0またはf'(x)が符号を変えないことが求められます。条件②は、極値を持たない関数の特徴を表現するための重要な式となり、微分積分学における基本的な概念を理解するために不可欠です。
コメント