置換積分の公式を理解するためには、まず合成関数の微分法をしっかり理解する必要があります。ここでは、合成関数の微分法から置換積分の公式をどのように導くかを解説します。
合成関数の微分法とは
合成関数の微分法（チェーンルール）とは、複数の関数が合成されている場合に、その微分をどのように求めるかを示す法則です。例えば、関数f(g(x))が与えられた場合、合成関数の微分は以下のように求められます。
f'(g(x)) = f'(g(x)) * g'(x)
置換積分の公式の導出
次に、合成関数の微分法を使って、置換積分の公式を導きます。置換積分では、積分の変数を変えることで、計算を簡単にする方法です。例えば、次のような積分が与えられたとします。
∫ f(g(x)) * g'(x) dx
この積分を解くために、g(x)を新しい変数uに置き換えます。つまり、u = g(x)とおくと、du = g'(x) dxとなります。この置換により、積分は以下のように簡略化できます。
∫ f(u) du
置換積分の公式の具体例
具体的な例を見てみましょう。例えば、次の積分を考えます。
∫ 2x * cos(x^2) dx
ここで、x^2をuと置き換えます。すなわち、u = x^2とすると、du = 2x dxになります。これにより、積分は次のように簡略化されます。
∫ cos(u) du
この積分は直接解くことができ、結果としてsin(u)が得られます。最終的に、元の変数に戻すと、以下のように解答が得られます。
sin(x^2) + C
まとめ
合成関数の微分法（チェーンルール）を使って置換積分の公式を導くことができます。置換積分は、積分を簡単に解くための有力な方法であり、特に合成関数の積分に有効です。置換法を使うことで、複雑な積分も扱いやすくなります。
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