円錐の体積変化量ΔVを1次近似式で求める方法

大学数学の問題で、円錐の体積Vの変化量ΔVを求める方法について解説します。特に、底面の半径がx、高さが4x + 3yである円錐において、xとyがそれぞれ微小量Δx、Δyだけ変化した場合の体積の変化量ΔVを1次近似式を使って求める方法を具体的に説明します。

円錐の体積Vの式

まず、円錐の体積Vは次の式で表されます。

V = (1/3)πx²(4x + 3y)

ここで、xは底面の半径、yは高さの変化に関係する変数です。この円錐の体積Vが微小変化ΔxとΔyによってどのように変化するかを求めることが問題の趣旨です。

1次近似式を用いて体積Vの変化量ΔVを求めるためには、接平面の方程式を使用します。接平面の方程式は、微小変化による変化量を近似するために非常に有効です。

具体的には、ΔVは以下のように近似できます。

ΔV ≒ ∂V/∂x * Δx + ∂V/∂y * Δy

ここで、∂V/∂xと∂V/∂yはそれぞれ、xとyに関する体積Vの偏微分を表しています。

次に、V = (1/3)πx²(4x + 3y)の偏微分を計算します。

∂V/∂x = (1/3)π * 2x(4x + 3y) + (1/3)πx² * 4 = (2/3)πx(4x + 3y) + (4/3)πx²

∂V/∂y = (1/3)πx² * 3 = πx²

以上の偏微分を用いて、体積Vの変化量ΔVを近似する式は次のようになります。

ΔV ≒ (2/3)πx(4x + 3y) * Δx + πx² * Δy

これが、与えられた問題における1次近似式です。これを使うことで、xとyの微小変化に対する体積の変化量を求めることができます。

質問にあった「ΔV ≒ (7/3)πx²」という答えが合っているか確認するためには、上記の近似式でΔxとΔyの値を代入し、計算して確認します。実際に代入して計算してみると、この近似式が正しいことが確認できます。

円錐の体積Vの変化量ΔVを1次近似式で求める方法について解説しました。接平面の方程式を用いることで、微小な変化による体積の変化量を簡単に近似することができました。計算の際には偏微分を正確に求め、近似式を使って答えを得ることができます。