直方体の体積変化量を接平面の方程式から求める方法

大学数学

2026.02.06

大学数学でよく出題される問題の一つに、直方体の体積の変化量を求める問題があります。特に、微小量Δx、Δyの変化を使って体積Vの変化量ΔVを求める方法について解説します。接平面の方程式を用いて近似する方法を具体的に紹介します。

問題の整理

問題では、直方体の縦の長さがx、横の長さがy、高さが2x + 3yであるとき、xとyが微小量Δx、Δyだけ変化したときの体積Vの変化量ΔVを求めるように指示されています。まず、この問題に必要な情報を整理します。

直方体の体積Vは、次のように表されます。

V = x * y * (2x + 3y)

体積Vの変化量ΔVを求めるために、接平面の方程式を用います。接平面の方程式は、微小変化における関数の変化量を近似する方法です。

接平面を使うと、微小変化Δx、Δyに対して体積Vの変化量ΔVを以下のように近似できます。

ΔV ≒ ∂V/∂x * Δx + ∂V/∂y * Δy

ここで、∂V/∂xと∂V/∂yはそれぞれ、xとyに関する体積Vの偏微分を意味します。

次に、V = x * y * (2x + 3y)の偏微分を求めます。まず、xとyに関してそれぞれ偏微分を計算します。

∂V/∂x = y * (4x + 3y)

∂V/∂y = x * (3x + 6y)

これらを使って、体積の変化量ΔVを近似します。

ΔV ≒ y * (4x + 3y) * Δx + x * (3x + 6y) * Δy

この式が、体積の変化量ΔVをΔxとΔyに関して近似する式です。この式を使うことで、xとyの微小変化による体積の変化量を求めることができます。

もし、具体的な値が与えられた場合（例えば、x = 1, y = 2, Δx = 0.1, Δy = 0.1など）、この近似式を使ってΔVを計算することができます。

例えば、x = 1, y = 2, Δx = 0.1, Δy = 0.1の場合、偏微分を代入して計算すると、体積の変化量ΔVが求まります。

直方体の体積Vの変化量ΔVを求めるためには、接平面の方程式を使って近似する方法が有効です。この方法では、xとyの偏微分を求め、それを使って微小変化による体積の変化を近似します。これを理解し、練習することで、より多くの問題に対応できるようになります。