√(b^2 + c^2 – √3bc)が無理数になる理由とその証明

数学における無理数の性質や式の操作に関する問題は、理解を深めるために非常に役立ちます。今回は、自然数b, cに対し、√3が無理数である場合の、√(b^2 + c^2 – √3bc)が無理数であるかどうかを考えます。この記事では、その解法と理由を詳しく解説します。

1. 無理数とは何か

無理数とは、整数や有理数として表せない実数のことを指します。例えば、√2やπは無理数です。無理数は有限小数や循環小数ではなく、無限に続く非循環小数です。

2. 問題の式について

問題となる式は、√(b^2 + c^2 – √3bc) です。この式の中で重要なのは、√3という無理数が含まれている点です。bとcは自然数ですが、√3が含まれているため、式全体が無理数であるかどうかを見極める必要があります。

3. 証明のアプローチ

まず、式の中に無理数が含まれている場合、その結果が有理数になるためには、無理数部分が「打ち消し合う」必要があります。具体的には、無理数部分が有理数に変わるための条件を探す必要があります。しかし、この式では無理数部分√3bcがそのまま残るため、結果としてこの式は無理数になると考えられます。

4. 結論とまとめ

したがって、b, cが自然数であり、√3が無理数である場合、式√(b^2 + c^2 – √3bc)は無理数となります。このような問題を解くには、無理数の特性を理解し、式の中で無理数がどのように作用するかを見極めることが重要です。