数学II：極限の計算と分母・分子の関係を理解する方法

数学IIの問題で、極限を求める際の分子と分母の関係に悩むことがあります。特に「分子が 0 に近づくのだから、分母も 0 に近づかなければ、極限は 3 にならない」という説明の理屈がわからないという方のために、なぜ分母が0に近づく必要があるのかを分かりやすく解説します。

問題の設定：lim[x→3] (x^2 + 2x – 15) / (x^2 + ax + b) = 3
① lim[x→3] (x^2 + ax + b) = 0であることが必要な理由
② lim[x→3] x^2 + 2x – 15 = 0 だから lim[x→3] (x^2 + ax + b) = 0と表せる理由
「分子が 0 に近づくのだから、分母も 0 に近づかなければ、極限は 3 にならない」という理屈
まとめ

問題の設定：lim[x→3] (x^2 + 2x – 15) / (x^2 + ax + b) = 3

この問題では、極限を求める際に分子と分母の関係をしっかり理解することが求められます。まず、この式で極限が3になるための条件を確認しましょう。具体的には、分母と分子の値が同時に0に近づく必要があります。

① lim[x→3] (x^2 + ax + b) = 0であることが必要な理由

極限を求める際に、分子と分母がどちらも0に近づく場合、分子と分母を簡単に割り算することができ、最終的に意味のある値が得られます。もし分母が0でなくても、分子が0に近づかない場合、分母が分子に比べて無限大に大きくなるため、極限が計算できません。

従って、この問題では、分母の式 (x^2 + ax + b) がx→3で0に近づく必要があるのです。これによって、分子と分母が両方とも0に近づくという条件が整い、極限が計算可能になります。

② lim[x→3] x^2 + 2x – 15 = 0 だから lim[x→3] (x^2 + ax + b) = 0と表せる理由

問題文で「lim[x→3] x^2 + 2x – 15 = 0」という部分は、x→3のとき、分子の式が0になることを示しています。したがって、分子が0に近づくとき、分母も0に近づく必要があり、この条件に従うために、分母の式 (x^2 + ax + b) がx→3で0になるように定数aとbを選ぶ必要があります。

このようにして、分子と分母が共に0に近づくことで、極限が計算可能となり、最終的に答えが求められます。