2次方程式の解の範囲を求める方法：定数mの値を求める問題解説

高校数学でよく出題される、2次方程式の解の範囲に関する問題の解き方について解説します。特に、「x^2 – 2mx + m + 2 = 0」のような方程式で、定数mの値によって異なる解を求める方法を、解と係数の関係を使って説明します。

問題の整理と目標

問題の内容は、2次方程式x^2 – 2mx + m + 2 = 0が異なる2つの解を持つとき、さらにその解が1以下であるときの定数mの範囲を求めるというものです。

まず、この方程式が「異なる解」を持つための条件と、解が「1以下」であるための条件を順を追って解きます。

まず、2次方程式x^2 – 2mx + m + 2 = 0において、解と係数の関係を使います。解と係数の関係によると、2次方程式ax^2 + bx + c = 0の解は、以下のような関係を持っています。

・解の和：x₁ + x₂ = -b/a

・解の積：x₁ * x₂ = c/a

この問題では、方程式の係数をa = 1, b = -2m, c = m + 2として、解の和と積を求めることができます。

次に、解が異なる2つであるための条件と、解が1以下であるための条件を設定します。

まず、解が異なるためには判別式Δ > 0である必要があります。判別式Δは以下の式で計算できます。

Δ = b² – 4ac = (-2m)² – 4(1)(m + 2) = 4m² – 4(m + 2) = 4m² – 4m – 8

この判別式が0より大きい場合、方程式は異なる解を持ちます。Δ > 0の条件を解くと、m > -1となります。

次に、解が1以下であるためには、解の和と積を使って条件を導出します。

解の和は、x₁ + x₂ = 2m です。解の積は、x₁ * x₂ = m + 2です。

解が1以下であるためには、2mが2より小さい、すなわちm < 1でなければなりません。また、解の積が1以下であるため、m + 2 < 1となる必要があります。これを解くと、m < -1となります。

この2つの条件を合わせると、m > -1 かつ m < -1 の範囲となり、最終的に求めるmの範囲はm < -1となります。

2次方程式x^2 – 2mx + m + 2 = 0が異なる2つの解を持ち、さらにその解が1以下であるための定数mの範囲は、m < -1 です。この問題を解くためには、解と係数の関係を利用し、解の条件を順に設定することが重要です。練習を積むことで、同様の問題に素早く対応できるようになるでしょう。