大学の数学でよく出題される問題の一つに、関数の接平面を求める問題があります。ここでは、関数 f(x, y) = log|e^x – 3y| に対して、点 (2, e, f(2, e)) における接平面の方程式を求める方法を解説します。問題を解くためには、偏微分を用いて接平面の方程式を導出することが必要です。
接平面の方程式の基本
接平面の方程式を求めるためには、まず関数の偏微分を求め、接点での値を代入します。一般に、z = f(x, y) という関数における接平面の方程式は次のように表されます。
z – f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)(x – x_0) + f_y(x_0, y_0)(y – y_0)
ここで、f_x(x_0, y_0) と f_y(x_0, y_0) はそれぞれxおよびyについての偏微分の値で、(x_0, y_0) は接点の座標です。
関数の偏微分を求める
関数 f(x, y) = log|e^x – 3y| において、まず偏微分を求めます。関数の偏微分は、x と y に関して個別に計算します。
偏微分 f_x と f_y をそれぞれ求めると、次のようになります。
- f_x(x, y) = e^x / (e^x – 3y)
- f_y(x, y) = -3 / (e^x – 3y)
これらの偏微分を使って接平面の方程式を求めます。
接平面の方程式を導出する
次に、接点 (2, e) での値を求めます。まず f(2, e) を計算します。
f(2, e) = log|e^2 – 3e| = log|e^2 – 3e| = log(e(e – 3))
次に、偏微分 f_x(2, e) と f_y(2, e) を計算します。
- f_x(2, e) = e^2 / (e^2 – 3e) = e^2 / e(e – 3) = e / (e – 3)
- f_y(2, e) = -3 / (e^2 – 3e) = -3 / e(e – 3) = -3 / (e(e – 3))
これらを接平面の方程式に代入して、接平面の方程式を得ます。
z – log(e(e – 3)) = (e / (e – 3))(x – 2) – (3 / (e(e – 3)))(y – e)
確認とまとめ
質問者の解答の「z = -x + (3/e)y + log(e) – 1」は、計算ミスがあったようです。接平面の方程式を求める際には、偏微分を正確に計算し、接点での関数の値を代入することが重要です。
接平面の方程式は、正確に計算した結果、上記の式となります。これを使うことで、与えられた点における接平面の方程式を求めることができます。今回の問題は、関数の偏微分と接点での値を正確に計算することがポイントです。
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