高校数学でのe(ネイピア数)の評価方法：∑1/k!を使って近似する方法とは？

数学において、e（ネイピア数）は非常に重要な定数であり、自然対数の底として知られています。今回はeの評価方法について、特にその定義に基づく近似の手法について解説します。

eの定義と近似の基本

eは無限級数の形で定義されます。具体的には、次の式で表されます。

e = ∑(1/k!)（k=0から∞まで）。この式は、無限に続く項を足すことでeの値を計算するものです。では、無限級数を用いて、eをどのように近似できるのでしょうか？

無限級数をそのまま計算するのは実際的ではないため、kの値を有限に設定して近似する方法がよく使われます。たとえば、k=0からk=5までの項を足すと、以下のような計算ができます。

e ≈ 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!。これにより、eの近似値は約2.7083になります。

kの値を増やすことで、eの値はより正確に近似できます。たとえば、k=10まで足すと、eは約2.7182に近づきます。このように、項数を増やすことで、より高精度な近似が可能です。

質問で「e > 2.7を示せ」とありましたが、k=0からk=5までの項を足すことで、eの値が2.7より大きいことが確認できます。実際にk=5までの計算で得られる値は2.7083であり、これが2.7より大きいことが示されています。

eの値は無限級数を用いて定義されますが、実際の計算では項数を有限にして近似する方法が一般的です。kの値を増やすことで、より正確な値を得ることができ、例えばe > 2.7を示すためにはk=5で十分です。