与式を満たす実数x,yの範囲：x² + 2xy + 4y² = 9 の解法

数学の問題でよく見られる形、x² + 2xy + 4y² = 9 を満たす実数x, yに関する問題について、x – 2yのとり得る値の範囲を求める問題と、z = (x + 2y)² + 2(x – 2y) の最大値、最小値を求める問題を解説します。以下に、それぞれの解法を示します。

（1）x – 2yのとり得る値の範囲

与式 x² + 2xy + 4y² = 9 を満たす場合、x – 2y の範囲を求めます。まず、x – 2y = t とおき、x = t + 2y として与式に代入します。

（t + 2y）² + 2(t + 2y)y + 4y² – 9 = 0 を展開すると、t² + 4ty + 4y² + 2ty + 4y² + 4y² – 9 = 0 となり、最終的に 12y² + 6ty + t² – 9 = 0 となります。

ここで、yは実数なので、判別式Dが0以上である必要があります。D/4 = (3t)² – 12(t² – 9) ≧ 0 より、t² – 36 ≦ 0 となり、tの範囲は -6 ≦ t ≦ 6 です。したがって、x – 2y の範囲は -6 ≦ x – 2y ≦ 6 となります。

（2）z = (x + 2y)² + 2(x – 2y) の最大値、最小値

次に、z = (x + 2y)² + 2(x – 2y) の最大値、最小値を求めます。まず、与式 x² + 2xy + 4y² = 9 を利用して、(x – 2y)² + 6xy = 9 という式が成り立ちます。

次に、6xy = 9 – (x – 2y)² となるため、xy = 3/2 – (x – 2y)²/6 となり、これを使って (x + 2y)² を求めます。さらに計算を進めると、z = -t²/3 + 2t + 12 という式が得られます。

この式の最大値と最小値を求めるために、-6 ≦ t ≦ 6 の範囲で考えます。z = -1/3(t² – 6t) + 12 となり、最終的に t = 3 で最大値15、t = -6 で最小値-12となります。

まとめ

この問題では、与式 x² + 2xy + 4y² = 9 を満たす実数x, yに関して、x – 2yのとり得る値の範囲と、z = (x + 2y)² + 2(x – 2y) の最大値・最小値を求めました。最終的に、x – 2y の範囲は -6 ≦ x – 2y ≦ 6 となり、zの最大値は15、最小値は-12となります。これらの計算過程を通じて、数学的な関係式を理解することができました。