数Bの正規分布を用いた問題で、植物の発芽率に関する問題を解く際には、確率や正規分布の概念をしっかり理解することが重要です。この記事では、600個の種をまく場合に、発芽した種の数Yが特定の範囲にある確率が0.7以上となるような整数aの最大値を求める問題を解説します。
問題の設定
この問題では、発芽率が60%である植物の種を600個まくとき、発芽した種の数YがY≧aの範囲にある確率が0.7以上となるような整数aの最大値を求める必要があります。発芽した種の数は、正規分布に従うと仮定されています。
正規分布の概念
正規分布は、データが平均値周りに分布し、左右対称の形を持つ分布です。平均（μ）と標準偏差（σ）を使って、データがどのように散らばっているかを表すことができます。正規分布の基本的な性質を使って、発芽した種の数がどの範囲に入る確率を求めます。
この場合、発芽率が60%であるため、600個の種のうち発芽する確率は平均的に360個です。標準偏差を計算するためには、二項分布を正規分布で近似することができます。具体的には、標準偏差σは、√(n×p×(1-p))で求められます。
標準偏差の計算
まず、発芽率が60%なので、p = 0.6です。種の数は600個なので、n = 600です。標準偏差σは次のように計算できます。
σ = √(n×p×(1-p)) = √(600×0.6×0.4) ≈ √(144) ≈ 12
したがって、標準偏差は約12となります。
確率が0.7以上となるaの最大値を求める
次に、Y≧aの確率が0.7以上となるようなaの最大値を求めます。正規分布の累積分布表を用いて、Zスコアを求め、Yの範囲に対応するaを見つけます。
累積分布関数の値が0.7になるZスコアを調べると、Z ≈ 0.524となります。Zスコアは次の式で求められます。
Z = (a – μ) / σ
ここで、μは発芽した種の平均数360です。Zスコアが0.524のとき、aを求める式は次のようになります。
0.524 = (a – 360) / 12
a – 360 = 0.524 × 12 ≈ 6.288
a ≈ 360 + 6.288 ≈ 366.29
したがって、aの最大整数値は366となります。
まとめ
この問題では、正規分布を使って発芽した種の数が特定の範囲にある確率を求めました。発芽率が60%の600個の種から、確率が0.7以上となる範囲を計算した結果、aの最大値は366となります。このように、正規分布を用いることで、確率に基づいた問題を解くことができます。
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