バーンサイドの補題を用いた正三角形の頂点塗り分けの通り数の求め方

正三角形の頂点を異なる色で塗り分ける問題を解くときに、バーンサイドの補題を利用する方法について解説します。この方法を使うと、回転対称性を持つ図形の塗り分けパターンを求めることができます。

バーンサイドの補題とは

バーンサイドの補題は、対称性を考慮した場合の組み合わせ問題に非常に有効なツールです。この補題を使うことで、回転や反転などの対称操作を含む場合の組み合わせ数を求めることができます。特に、対称操作が存在する場合に、単純にすべての組み合わせを列挙するよりも効率よく計算することができます。

問題では、正三角形の頂点を赤、青、黒の3色を使って塗る場合の塗り分け通り数を求めます。ここで、回転に対する対称性を考慮し、反転は無視します。バーンサイドの補題を適用するためには、回転操作（0°、120°、240°）に対する固定点を計算する必要があります。

それぞれの回転に対して、次のように固定点を数えます:

バーンサイドの補題による通り数の求め方は、各回転の固定点の数を足し、回転の数で割ることです。具体的には以下のようになります:

(27 + 3 + 3) ÷ 3 = 11通り

バーンサイドの補題は、数珠順列問題のような場合にも応用できます。数珠順列問題では、回転や反転による対称性を考慮した上で、異なる順列の数を計算します。バーンサイドの補題は、そのような場合に対称性をうまく扱うための強力なツールとなります。

バーンサイドの補題を使うことで、対称性を持つ問題を効率よく解くことができます。正三角形の頂点塗り分けの問題においても、回転操作を考慮した場合の通り数を簡単に求めることができました。数珠順列の応用にもバーンサイドの補題は役立ちますので、今後の問題解決に役立ててください。