離散数学：集合Xの内包的記法と可算性の証明方法

離散数学の問題で、集合Xが8の倍数全体からなる集合である場合、(1)内包的記法を使ってXを表し、(2)Xが可算であることを証明する方法について説明します。特に、可算性の証明が難しいと感じる方に向けて、具体的な証明方法を解説します。

（1）Xを内包的記法で表す

集合Xは、8の倍数全体から成る集合です。内包的記法を使ってこの集合を表す方法は、次のようになります：
X = { x | x = 8n, n ∈ Z }
ここで、nは整数（Z）であり、xは8の倍数を表しています。

（2）Xが可算であることの証明

可算集合とは、集合Xの要素が有限個であるか、または自然数の集合と1対1対応できる集合です。Xが可算であることを証明するためには、自然数の集合NとXの要素との1対1対応を示す必要があります。

まず、集合Xの要素は、整数nを使って8nとして表されます。ここでn ∈ Zです。整数nを自然数と1対1対応させるため、整数nに対応する自然数の番号を設定します。例えば、n = 0の場合、x = 8 × 0 = 0になります。n = 1の場合、x = 8 × 1 = 8になります。これにより、Xのすべての要素は自然数の集合Nと1対1対応できます。

したがって、Xは可算集合であると結論できます。

可算性の定義を確認

可算集合の定義に基づく証明を理解するためには、可算集合の定義を押さえておくことが重要です。可算集合とは、集合の要素数が自然数の集合と1対1対応できる集合です。有限集合でも無限集合でも、自然数の集合と対応が取れれば可算集合として認められます。

まとめ

このように、集合X（8の倍数全体から成る集合）は自然数と1対1対応できるため、可算集合であることが証明されました。また、Xを内包的記法で表すと、X = { x | x = 8n, n ∈ Z }となります。この問題を解くためには、集合の定義と可算性の考え方をしっかり理解することが重要です。