コイン投げのゲームにおいて、表が出ると2点、裏が出ると1点が得られる場合に、4回のコイン投げで6点以上になる確率を求める方法を解説します。この問題は確率論の基本的な考え方を理解するために役立ちます。
問題の設定
このゲームでは、コインを4回投げ、各投げで得られる点数は次のように決まります。
- 表が出た場合：2点
- 裏が出た場合：1点
最終的に、4回のコイン投げで合計6点以上になる確率を求めることが目標です。ここで重要なのは、表が出る確率と裏が出る確率を基に、どのような組み合わせが6点以上に到達するかを計算することです。
表と裏が出る回数の組み合わせ
コインを4回投げる場合、表が出る回数をx、裏が出る回数を4-x（xは0から4の整数）と仮定します。各回の得点は次の通りです。
- 表が出る回数：2点×x
- 裏が出る回数：1点×(4-x)
このとき、合計得点は次の式で表されます。
合計得点 = 2x + (4 – x)
これを整理すると、合計得点 = x + 4となります。この合計得点が6点以上になるためには、x ≥ 2である必要があります。
確率の計算
x ≥ 2のとき、表が出る回数は2回以上です。コインを4回投げる場合の各回の表が出る確率は独立しており、表が出る確率は0.5、裏が出る確率も0.5です。したがって、x回の表が出る確率は二項分布を用いて求めることができます。
四回の投げでx回表が出る確率は次の式で計算できます。
P(x) = (4Cx) × (0.5)^4
ここで、4Cxは4回の投げでx回表が出る組み合わせの数です。具体的には次のように計算されます。
- x = 2: (4C2) × (0.5)^4
- x = 3: (4C3) × (0.5)^4
- x = 4: (4C4) × (0.5)^4
これらを計算すると、以下の確率が得られます。
- P(x = 2) = 6 × (0.5)^4 = 6 / 16 = 3 / 8
- P(x = 3) = 4 × (0.5)^4 = 4 / 16 = 1 / 4
- P(x = 4) = 1 × (0.5)^4 = 1 / 16
6点以上になる確率
最終的に、xが2、3、4である確率を合計すれば、6点以上になる確率が求められます。
P(6点以上) = P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4)
これを計算すると。
P(6点以上) = 3/8 + 1/4 + 1/16 = 6/16 + 4/16 + 1/16 = 11/16
まとめ
コインを4回投げて6点以上になる確率は11/16、つまり約68.75%です。この問題は、確率の基本的な計算方法と二項分布を使用する良い例です。各投げで得られる点数に基づいて、確率をしっかりと計算することが重要です。
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