正四面体の頂点Cを求める問題の解法: 条件付きベクトル解析

この問題では、正四面体OABCの頂点Cを求めるために与えられた条件をもとに計算を進めます。具体的には、点O(原点)、点A(1,1,2)、点B(2,-1,1)に対して、次の条件を満たす点Cを求めます。

問題の条件

与えられた条件は以下の通りです。

これらの条件を満たす点Cを求めるために、ベクトル解析を使用していきます。

まず、ベクトルOCの長さが辺OAの長さと等しいという条件から出発します。辺OAの長さは次のように計算できます。

OAの長さ = √((1-0)² + (1-0)² + (2-0)²) = √(1 + 1 + 4) = √6

よって、辺OCの長さも√6である必要があります。

次に、ベクトルOCがベクトルOAおよびOBとなす角がともにπ/3であるという条件を使います。ベクトル間の角度を求める公式は以下の通りです。

cos(θ) = (A・B) / (|A| |B|)

ここで、ベクトルOCとベクトルOAのなす角がπ/3であるため、cos(π/3) = 1/2 となります。この式を使って、ベクトルOCを求めることができます。

ベクトルOCを(x, y, z)とおくと、ベクトルOAとベクトルOBとの内積の関係を用いて、次の式を得ることができます。

OC・OA = |OC| |OA| cos(π/3) = (x, y, z)・(1, 1, 2) = √6 * √6 * 1/2 = 3

このようにして、ベクトルOCの成分x, y, zを求めていきます。

この問題を解くためには、ベクトル解析を活用して、与えられた条件を数式に落とし込み、解くことが重要です。ベクトルOAとOBとのなす角がπ/3という条件をうまく利用することで、正四面体の頂点Cを求めることができました。細かい計算を順に進めることで、問題を解決できます。