連続性の証明：x^2がx=aで連続であることの数学的証明

数学における連続性の証明は、関数が特定の点でどのように振る舞うかを理解するために非常に重要です。本記事では、関数f(x)=x^2がx=a(a>0)で連続であることを証明する過程を解説します。この証明は、ε-δ論法を用いて行います。具体的には、適切なδを選ぶことで、関数が連続であることを示します。

1. 連続性とは？

連続性とは、関数が特定の点で急激に値を変えないことを意味します。数学的には、関数f(x)がx=aで連続であるためには、次の条件が満たされなければなりません。

lim (x→a) f(x) = f(a)

ここで、f(x) = x^2の場合、連続性の証明は、xがaに近づくとき、x^2がa^2に近づくことを示す必要があります。

2. ε-δ論法による証明の準備

連続性の証明において重要なのが、ε-δ論法です。これは、任意のε>0に対して、適切なδ>0を選んで、xがaに近づくときに|f(x)-f(a)|がεより小さくなることを示す方法です。

ここでは、f(x) = x^2の連続性を証明します。具体的には、x=aで連続であることを証明するために、|x-a| < δの条件を満たすようなδを選びます。

3. δの選び方と証明の進行

まず、f(x) = x^2の連続性を証明するために、次の式を考えます。

|x^2 – a^2| = |(x + a)(x – a)|

ここで、|x – a| < δとなるようなδを選びます。上記の式から、次のように進めます。

|x + a||x – a| < δ(a + |x|)

さらに、|x| < a + δと仮定して、次のように評価します。

δ(a + a + δ) ≦ δ(3a) ≦ ε

これにより、δをδ = min{a, ε/3a}と選ぶことで、|x^2 – a^2| < εが成り立つことが確認できます。

4. δの選び方についての確認

この証明の際に選ばれたδ = min{a, ε/3a}は、連続性を証明するために適切なδであることが分かります。選んだδがx=aで連続性を確保するための条件を満たしているかを確認することが重要です。

また、δの選び方において、|x – a| < δとなるような条件を確立した後、|f(x) - f(a)| < εとなることを確認することが、連続性の証明を完成させるための重要なステップです。

5. まとめ

f(x) = x^2がx = aで連続であることの証明は、ε-δ論法を用いて適切なδを選ぶことで行います。証明の中で、δ = min{a, ε/3a}と選ぶことにより、xがaに近づくときに|f(x) – f(a)|がεより小さくなることを確認しました。このようにして、関数が特定の点で連続であることを示すことができます。