9x² + 1を複素数の範囲で因数分解する方法

この問題では、9x² + 1を複素数の範囲で因数分解する方法を学びます。複素数の因数分解は実数だけではできない場合でも、複素数を使えば解決できることがあります。

複素数を使った因数分解の基本

まず、因数分解の基本を確認しましょう。因数分解とは、式をいくつかの因数に分けて表すことです。特に2次式の場合、次の形に分解できることがあります。

ax² + bx + c = (px + q)(rx + s) これは、2次式を2つの一次式の積に分解する方法です。今回は、9x² + 1という式が与えられていますが、この式は実数範囲で因数分解することができません。

9x² + 1を複素数の範囲で因数分解するには、まずその形に着目します。この式は次のように書き換えられます。

9x² + 1 = (3x)² + 1²

これは「a² + b²」の形に似ており、複素数の因数分解公式を使うことができます。複素数の因数分解公式は次のようになります。

a² + b² = (a + bi)(a – bi)

したがって、9x² + 1は次のように因数分解できます。

9x² + 1 = (3x + i)(3x – i)

この因数分解の結果、9x² + 1は複素数の範囲で(3x + i)(3x – i)という形に分解できました。このように、実数範囲では因数分解できない式でも、複素数を使うことで因数分解が可能になります。

複素数を使った因数分解は、特に物理学や工学などでよく使用される技法で、実数の範囲で表現できない問題を解決するための重要な手段となります。

9x² + 1の因数分解を通じて、複素数の力を理解することができました。このような因数分解を覚えておくと、今後の数学や物理学の問題解決に役立つことでしょう。