この問題は、京大の標準～やや難レベルの数学問題で、Q(x)の2次方程式が重解を持つことを証明する問題です。具体的には、P(x)がQ(x)で割り切れないが、P(x)^2はQ(x)で割り切れるという条件の下で、Q(x)が重解を持つことを示す必要があります。ここでは、背理法を使用した解法方法について解説します。
問題の理解とQ(x)の設定
問題文におけるQ(x)は2次式であり、P(x)はQ(x)で割り切れませんが、その二乗P(x)^2はQ(x)で割り切れるという特徴があります。これから示すべきことは、Q(x)が重解を持つという点です。まず、Q(x)を一般的な2次式として設定しましょう。Q(x) = ax^2 + bx + c という形で表現できます。
Q(x)の解が重解であるためには、判別式Δが0である必要があります。判別式ΔはΔ = b^2 – 4acで定義され、これが0であれば、Q(x)は重解を持つことがわかります。
背理法による解法のアプローチ
背理法は、仮定が成り立たないことを示す方法です。この問題においても背理法が有効に使えます。まず、「Q(x)が重解を持たない」と仮定します。この仮定が正しければ、Q(x)の判別式Δは0ではなく、Δ > 0またはΔ < 0であるはずです。しかし、P(x)^2がQ(x)で割り切れるという条件を満たすためには、Δが0でなければならないことが導かれます。
したがって、この仮定は矛盾を生じるため、Q(x)は重解を持つことが確定します。
Q(x)が重解を持つ理由
Q(x)が重解を持つ理由は、背理法を用いて示されたように、P(x)^2がQ(x)で割り切れるという条件から必然的に導かれます。仮定に矛盾が生じたため、Q(x)は必ず重解を持つことが示されました。このように、背理法を使うことで、数学的な証明を簡潔に行うことができます。
まとめ：背理法による証明の重要性
背理法は数学的証明において非常に有効な手法であり、問題の仮定が成立しないことを示すことで、正しい結論を導くことができます。この問題では、Q(x)が重解を持つことを証明するために背理法を使用し、条件から必然的に導き出される結論に至りました。
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