f(θ) = 0 の解の個数の求め方 – 数学的なアプローチと解の配置

f(θ) = 0の解の個数を調べる問題では、式の変形や解の配置を使って解の個数を求めます。この問題に取り組む際に役立つアプローチをステップごとに解説します。

1. f(θ) = 0 の式の整理

最初に与えられた式は、f(θ) = a(√3sinθ – cosθ) – (√3sin2θ + cos2θ) + a + 1 です。この式は一見複雑に見えますが、式を整理していくことで解を求めやすくなります。

まず、t = √3sinθ – cosθと置くことで、式の変形を簡単にします。これにより、問題を解くための基盤が整います。

t² = 3sin²θ – 2√3sinθcosθ + cos²θ の式を展開していきます。ここで重要なのは、式を変形することでtの範囲を求めやすくすることです。最終的に、t² – 2 = -2√3sinθcosθ + 2sin²θ – 1 という形に変形されます。

さらに、この式においてtとθの関係を理解することで、解の個数を求めるための手がかりが得られます。

t = 2, -2 の場合、θはそれぞれ1個の解を持ちます。t = -1の場合は解が3つになります。-2 < t < -1 と -1 < t < 2 の場合は、θはそれぞれ2個の解を持つことがわかります。このように、tの範囲に対してθの解を対応させていきます。

このようにして、f(t) = 0 の解の個数を調べるために、tの範囲ごとに解を求めていく方法が有効です。

解の配置を使って、f(t) = 0 の解を求めます。t = -2, 2, -1 の値に対してそれぞれの解の個数を計算します。例えば、t = -2 のとき、a = 3 となり、f(t) = 0 は解4個を持ちます。同様に、t = 2 の場合もa = -1 で解4個となります。

これにより、解の個数が次々に求められ、最終的にf(θ) = 0の解の個数が明確になります。

f(θ) = 0 の解の個数を求めるためには、式を変形し、解の配置を使って解を求めていくことが重要です。tの範囲を求め、解を1つずつ計算することで、解の個数を確定することができます。これらのアプローチを使うことで、複雑な問題もスムーズに解決できます。