s^2 + t^2 ≦ 1 を満たすとき、点(s+t, st)の動く範囲の解説

「s^2 + t^2 ≦ 1」という条件が与えられたとき、点(s+t, st)がどのように動くのかを求める問題です。この問題では、数学的なアプローチを使って、点の動きとその制約を理解することが求められます。さらに、相加相乗平均（AM-GM）を使って解法が進んでいきますが、結果として得られる不等式が偶然同じになるのか、それとも何か深い意味があるのかも考察していきます。

問題の設定と基本的な理解

まず、与えられた条件「s^2 + t^2 ≦ 1」ですが、これはsとtがx軸とy軸に対して円の内部に位置していることを意味します。つまり、sとtは単位円の範囲内にあることが示されています。

次に、「点(s+t, st)の動く範囲」を求めるためには、まずs+t=x、st=yとして、新しい変数xとyを定義します。この変換を行うことで、問題を単純化して解析できるようになります。

相加相乗平均（AM-GM）とその適用

質問者の友達が使った相加相乗平均（AM-GM）に基づく不等式「s+t ≧ 2√st」は、通常s>0およびt>0のときに使う方法です。しかし、sやtが負である場合、この不等式はそのまま適用できません。それでも、問題がうまく解ける理由として、与えられた不等式が偶然でも同じ形式を持つのは、代数的な性質がうまく一致した結果であると言えます。

相加相乗平均を使った解法は、sとtの値が正でない場合でも、問題がうまく整理されていく過程で「y ≦ 1/4x^2」という不等式にたどり着くことができます。この偶然の一致には代数的な背景があり、特定の条件下で同じ結果に収束することがあるのです。

不等式の意味と解釈

得られた不等式「y ≦ 1/4x^2」は、点(s+t, st)が描く範囲を制約する重要な条件です。この不等式が示すのは、xとyの関係において、yの最大値がxの2乗に比例して制限されるということです。

この結果は、与えられた条件「s^2 + t^2 ≦ 1」を満たす範囲内で、点(s+t, st)がどのように動くかを具体的に示しています。これは、点が描く軌跡が、一定の範囲内で収束することを意味します。

まとめ

「s^2 + t^2 ≦ 1」を満たすとき、点(s+t, st)の動く範囲は、得られた不等式「y ≦ 1/4x^2」によって制約されます。この問題では、相加相乗平均を使ったアプローチが偶然にも正しい解を導きましたが、これは代数的にうまく一致した結果です。相加相乗平均が適用できる条件を理解し、他の解法と合わせて解を導くことが、問題を解く鍵となります。