確率の反復試行に関する問題において、公式がどのように使われるかについてよく誤解される点があります。特に、二項分布の公式である「nCr p^r (1-p)^(n-r)」と「nCr p^r q^(n-r)」の使い方についての違いが疑問として上がることがあります。この問題を解決するために、公式の意味とその使い方について解説します。
確率の反復試行と二項分布
反復試行の確率分布を考えるとき、最も一般的なものは「二項分布」です。これは、同じ試行をn回行ったときに、特定の事象（例えば、コインの表が出る）がr回発生する確率を求めるものです。二項分布の公式は以下のように表されます。
- P(X = r) = nCr * p^r * (1 – p)^(n – r)
ここで、nCrは「n個の試行からr回の成功を選ぶ組み合わせ」、pは成功の確率、(1 – p)は失敗の確率です。
「nCr p^r q^(n-r)」の使用は誤りか？
質問にある「nCr p^r q^(n-r)」という式に関してですが、実はpとqは同じ意味を持っており、pと(1 – p)の違いに過ぎません。qを使う場合は、成功確率をp、失敗確率をq（q = 1 – p）として表現しているに過ぎません。したがって、「nCr p^r (1 – p)^(n – r)」と「nCr p^r q^(n – r)」は、まったく同じ意味の式であり、どちらも正しいのです。最初にpと(1 – p)を分けた式で考える方が直感的に理解しやすいですが、式を省略してqを使うこともよくあります。
理解の誤解を解くためのポイント
質問者が疑問に思っているのは、pと(1 – p)の両方を使っている公式がなぜ使えないのかという点です。しかし、実際にはpと(1 – p)は異なる表現をしているだけで、数学的に同じです。したがって、p^r (1 – p)^(n – r)とp^r q^(n – r)は同じ計算を指し示します。
まとめ
確率の反復試行に関する公式について、nCr * p^r * (1 – p)^(n – r)とnCr * p^r * q^(n – r)の両方は同じ式を指しており、どちらも正しい式です。重要なのは、成功確率pと失敗確率(1 – p)（またはq）を適切に理解して使うことです。
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