大学入試における特性方程式型の三項間漸化式の出題例とその解法

大学入試問題における三項間漸化式は、特性方程式型のものが多く出題されますが、その中でも解けない場合や、出題されることが少ないケースもあります。この記事では、特性方程式型の三項間漸化式に関する情報と、その出題実例について解説します。

特性方程式型の三項間漸化式とは

三項間漸化式は、数列の各項が前の項との関係で定義される形の式です。特性方程式型は、このような式の解法で、一般的には差分方程式を用いて解かれることが多いです。例えば、aₙ = p * aₙ₋₁ + q * aₙ₋₂ + r * aₙ₋₃ という形で表される場合、特性方程式を導出し、解を求めることができます。

特性方程式型で解けない三項間漸化式は存在するか？

特性方程式型で解けない三項間漸化式も確かに存在します。主に、定数項や係数が複雑な場合、または初期条件が不適切な場合などです。しかし、一般的には、問題が適切に設定されていれば、特性方程式型を使って解くことが可能です。

特性方程式型三項間漸化式が出題される大学

特性方程式型の三項間漸化式は、主に理系の大学で出題されることが多いです。例えば、東京大学、京都大学、大阪大学などの難関大学では、漸化式に関する問題が出題されることがありますが、三項間漸化式についてはやや出題頻度が低い場合もあります。しかし、過去の試験問題を見てみると、三項間漸化式を含む問題が出題された事例もあります。

特性方程式型三項間漸化式の解法

特性方程式型の三項間漸化式を解く際の基本的な手順は、まず漸化式の対応する特性方程式を求め、その方程式の解を利用して一般解を導きます。その後、初期条件を利用して特定解を求めます。

例えば、aₙ = p * aₙ₋₁ + q * aₙ₋₂ + r * aₙ₋₃という形の三項間漸化式において、特性方程式はλ³ – pλ² – qλ – r = 0のような形になります。これを解くことで、漸化式の解を得ることができます。

まとめ

特性方程式型の三項間漸化式は、大学入試でも出題される可能性があり、特に理系の学部では重要なテーマとなります。出題頻度が低い場合もありますが、過去問を通じて解法を学ぶことで、特性方程式型の三項間漸化式を解けるようになることが大切です。