ベクトルの式変形：|a⃗|^2 の計算方法と理解

ベクトルの長さや大きさを計算する際に、よく出てくる式が「|a⃗|^2」です。この記事では、ベクトルの式変形について、特に「|a⃗|^2 = (√a₁² + a₂²)²」という式がどのように変形されるか、そしてその理解方法を解説します。

ベクトルの長さの定義

ベクトルの長さ（ノルム）とは、そのベクトルが原点からどれだけ離れているかを示す値です。2次元ベクトルの場合、ベクトル a⃗ = (a₁, a₂) の長さは、次の式で表されます。

|a⃗| = √(a₁² + a₂²)

この式は、ピタゴラスの定理をベースにした計算です。ベクトルの長さは、x軸方向の成分とy軸方向の成分の2乗を足したものの平方根となります。

式の変形と誤解の原因

質問にある「|a⃗|^2 = (√a₁² + a₂²)²」ですが、この式変形に関して少し誤解がある可能性があります。実際には、|a⃗|² の計算は次のように行います。

|a⃗|² = (√a₁² + a₂²)² = a₁² + a₂²

なぜなら、√(a₁² + a₂²) を2乗した場合、平方根と2乗が打ち消し合うため、結果的に a₁² + a₂² になります。このため、式の変形においては、平方根を2乗しても式の内容がそのまま維持されることに注意が必要です。

式変形の例

たとえば、ベクトル a⃗ = (3, 4) の場合を考えてみましょう。この場合、a₁ = 3, a₂ = 4 です。

まず、ベクトルの長さを計算します。

|a⃗| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

次に、|a⃗|² を計算すると。

|a⃗|² = 5² = 25

まとめ

ベクトルの長さの式「|a⃗| = √(a₁² + a₂²)」を2乗すると、式は「|a⃗|² = a₁² + a₂²」に変形されます。最初の式にある「(√a₁² + a₂²)²」は間違いで、正しくは「a₁² + a₂²」に等しいことを理解しましょう。この基本的な考え方を押さえておくと、他のベクトルの計算にも役立ちます。