確率変数XとYが独立であることを確認する方法

確率論において、2つの確率変数が独立であることを確認する方法について解説します。特に、硬貨を2枚とサイコロを1個同時に投げた場合の確率変数X（硬貨の表の出る枚数）とY（サイコロの出る目）の独立性について考えます。

問題の概要

問題は、2枚の硬貨と1個のサイコロを同時に投げ、硬貨の表の出る枚数をX、サイコロの出る目をYとしたとき、XとYが独立であるかを確認するものです。XとYが独立であるためには、P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)が成り立つ必要があります。

まず、確率変数X（硬貨の表の出る枚数）の確率分布を求めます。Xは0, 1, 2の3つの値を取り、それぞれの確率は以下の通りです。

次に、確率変数Y（サイコロの出る目）の確率分布を求めます。Yは1から6の6つの値を取り、それぞれの確率は1/6です。

XとYの同時分布を計算します。例えば、X=1, Y=1となる確率はP(X=1, Y=1) = P(X=1) × P(Y=1) = 2/4 × 1/6 = 2/24 = 1/12となります。

また、P(X=1)P(Y=1)も1/12となり、P(X=1, Y=1) = P(X=1)P(Y=1)が成立することが確認できます。

P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)が成り立つことが確認できれば、XとYは独立であるといえます。問題の計算において、この関係が成り立つため、XとYは独立であることが証明されます。

確率変数X（硬貨の表の出る枚数）とY（サイコロの出る目）が独立であることを確認するためには、それぞれの確率分布を求め、P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)が成り立つかどうかを確認すればよいことがわかりました。この方法を用いることで、他の確率変数に対しても同様の確認が行えます。