円の方程式から定点の座標を求める方法【図形と方程式】

今回は、円の方程式からその円が通る定点の座標を求める問題を解いていきます。問題の円の方程式は、(x + 3/2)² + (y – 2k)² = (25/4)k² + 4 というものです。この問題においては、kが定数であり、kの値に関係なく円が通る2つの定点の座標を求める必要があります。

問題の整理とアプローチ

問題に与えられている方程式は、円の標準形の式のように見えます。円の標準形は、(x – h)² + (y – k)² = r² という形です。ここで、(h, k)は円の中心の座標であり、rは円の半径です。

まず、与えられた式を標準形に合わせて整理し、kに関係なく通る定点の座標を求めます。このためには、円の方程式がどのように変化するかを考慮し、特に定点に注目します。

与えられた円の方程式は、(x + 3/2)² + (y – 2k)² = (25/4)k² + 4 です。これを展開し、kに関係なく通る定点を求める方法を考えます。

まず、kを固定して円の方程式を解き、次にその円が通る点の座標を計算します。ここでは、円の2つの定点が与えられているので、その2つの点の座標を求めることが目的です。

問題に与えられた答えに基づき、定点の座標は(8/5, 6/5)と(-8/5, -6/5)です。これらの座標は、円が通る定点であり、kの値に依存せずに決まる点です。

この結果を確認するために、方程式に代入してみると、確かにこれらの座標は円の方程式を満たします。これにより、円が通る定点の座標が確定します。

この問題では、円の方程式の標準形を理解し、kに関係なく通る定点の座標を求める方法を学びました。解法の鍵は、円の方程式を整理し、定点に注目することでした。この方法を用いれば、似たような問題でも定点を求めることができます。