この問題では、各桁の数字の和が2となる正の整数を小さい順に並べた数列を求め、その中でa100の桁数を求める方法について解説します。問題の意図を理解し、どのように計算を進めるかを具体例とともに見ていきます。
問題の整理
この問題では、各桁の数字の和が2となる正の整数を小さい順に並べた数列｛a1, a2, a3, …｝を考えます。例えば、a1 = 2, a2 = 11, a3 = 20, a4 = 101のように、各整数が順番に並びます。
求めるべきは、a100の桁数です。この数列の中で、各桁の和が2となる整数を探し、その100番目の整数を見つけます。
各桁の和が2となる整数の構造
まず、各桁の和が2となる数をリストアップします。具体的には、以下のような数があります。
- 1桁：2
- 2桁：11
- 2桁：20
- 3桁：101
- 3桁：110
- 3桁：200
このように、和が2となる整数は、最初に1桁から始まり、2桁、3桁へと増えていきます。重要なのは、この数列がどのように増えていくか、またその数がどれだけの桁数になるかを理解することです。
数列の規則性を見つける
数列がどのように増えていくのかを見てみると、和が2となる整数は、最初に小さな数から増えていき、桁数が1つずつ増加します。例えば、次の数列は以下のように続きます。
- 1桁：2
- 2桁：11, 20
- 3桁：101, 110, 200
- 4桁：1001, 1010, 1100, 2000
このように、和が2となる整数の数は、桁数が増えるごとに増加します。
a100の桁数を求める方法
a100を求めるためには、まず和が2となる数を小さい順に並べ、100番目の数がどの桁数の数になるかを特定します。
これまでに数列の規則性から、桁数ごとの数の個数を見積もると、以下のようになります。
- 1桁の数：1個（2）
- 2桁の数：2個（11, 20）
- 3桁の数：3個（101, 110, 200）
- 4桁の数：4個（1001, 1010, 1100, 2000）
- …など
これを繰り返し、a100が何桁になるのかを計算することで、最終的に100番目の数の桁数がわかります。
まとめ
この問題は、数列の規則性を理解し、各桁の和が2となる整数を順番にリストアップすることで解決できます。最終的に、a100の桁数を求めるには、数列の規則性を利用して、どの桁数の数に100番目が位置するのかを計算することが重要です。このようにして、数学の問題を効率的に解くことができます。
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