青チャート数学IIIの問題で、「f(x) = x³/3 + 2log|x|」の接線の傾きがaと等しくなる点の本数を求める問題があります。この問題を解くための考え方と、場合分けについて解説します。
問題の整理
問題では、関数 f(x) = x³/3 + 2log|x| に対して、接線の傾きがaと等しくなる点を求める必要があります。最初に、接線の傾きは導関数を使って求めることができます。したがって、まずはf(x)の導関数を求めることから始めます。
導関数の計算
f(x) = x³/3 + 2log|x| の導関数を求めると、次のようになります。
f'(x) = x² + 2/x となります。
接線の傾きがaとなるためには、f'(x) = a を満たすxを求めます。つまり、x² + 2/x = a という方程式を解くことが求められます。
場合分けについて
最初に質問者は、x > 0 と x < 0 の場合に分けて解こうとしたとのことですが、実は、この問題では|x|を使っているため、場合分けをする必要はありません。x > 0 でも x < 0 でも、同じ関数 f(x) = x³/3 + 2log(x) に対して同じアプローチで計算できます。したがって、x > 0 の場合だけを考えれば十分です。
解法の流れ
次に、方程式 x² + 2/x = a を解きます。この方程式を解くために、両辺を掛け算して、二次方程式に変形します。
x² + 2/x = a → x³ – ax + 2 = 0 という三次方程式になります。この方程式の解を求めると、接線の傾きがaと等しくなるxの値が求まります。
まとめ
この問題では、x > 0 や x < 0 に分ける必要はなく、|x| を使うことで一貫して解くことができます。接線の傾きを求めるためには、導関数を使って方程式を立て、解を求めることが重要です。問題を解く際は、場合分けに惑わされず、解法をシンプルに考えましょう。
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