この問題では、指定された曲線と直線、さらに x 軸で囲まれた領域を x 軸の周りで回転させた回転体の体積を求める方法について説明します。
問題の確認
問題は次のように与えられています。
- 曲線: |x−a−bsinx|
- 直線: x=π, x=−π
- x軸で囲まれた部分
- この部分を x 軸の周りに回転させて得られる回転体の体積 V
また、この問題では (1) と (2) の2つの部分があります。
体積 V の求め方
まず、回転体の体積を求めるために必要な公式を理解しましょう。回転体の体積は、円盤の断面積を積分して求めます。回転軸を x 軸に置くことで、円盤の半径が f(x) に対応します。
体積 V は次のように求めます。
V = π∫(a→b) [f(x)]² dx
ここで、f(x) は回転体の半径となる関数であり、積分区間 [a, b] は回転体が囲む領域です。問題に与えられた関数を元にして、適切な式を導き出していきます。
最小の a, b の値の求め方
次に、a と b を動かしたときに V が最小となるような a と b の値を求める方法について説明します。最小化問題を解くためには、偏微分を使って関数の極値を求める手法が一般的です。
関数 V(a, b) を a と b で微分して、最小化する点を求めます。これによって、回転体の体積が最小となる a と b の値を求めることができます。
まとめ
この問題では、与えられた曲線と直線の囲む部分を回転させた回転体の体積を求めました。回転体の体積の求め方には円盤法を使い、積分を用いて計算します。さらに、a と b を動かしたときの最小値を求めるために、偏微分を使った最適化方法を紹介しました。
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