ベクトルの問題: 点Pの位置と内積の範囲を求める方法

ベクトルの問題では、点Pの位置を与えられた条件から求めたり、内積の取りうる範囲を計算することがあります。この記事では、与えられた条件に基づいて、点Pの位置や内積の範囲をどのように求めるかについて、具体的な方法を解説します。

問題設定と条件の整理

まず、平面△OABがあり、点O(0,0)、A(1,2)、B(4,2)が与えられています。点Pは、→OP = s→OA + t→OBによって定義され、s、tは実数です。このとき、次の条件が与えられています。

これらの条件を満たす点Pが存在する範囲を求めることが求められています。

まず、条件をもとに、点Pが存在する部分の面積を求めるために、三角形OABの面積と三角形OCDの面積を使って差を求めます。

→OA = (1, 2)、→OB = (4, 2)なので、三角形OABの面積は1/2|2-8| = 3です。

次に、→OC = 2→OA = (2, 4)、→OD = 2→OB = (8, 4)です。三角形OCDの面積は1/2|8-32| = 12です。

したがって、求める面積は12 – 3 = 9となります。

次に、すべての点Pに対して内積→OP･→OAの取りうる値の範囲を求める方法を説明します。

点P（x, y）に対して、内積→OP･→OA = x + 2yという関係が成立します。この式を変形してyを求めると、y = (-1/2)x + k/2 という直線方程式が得られます。ここで、kは定数です。

この直線が領域内で、y切片k/2が最大、最小となるように考えます。具体的には、②が点D（8,4）を通るとき、k/2は最大となり、最大値はk = 16となります。また、②が点A（1,2）を通るとき、k/2は最小となり、最小値はk = 5となります。

この問題では、点Pの位置を求めるために、三角形の面積を使って範囲を求め、さらに内積の取りうる値の範囲を求めました。エントロピーやベクトルの問題では、図形の面積や内積を使って数値的な範囲を求める方法が重要なテクニックです。

最終的に、内積→OP･→OAの取りうる範囲は5≦→OP･→OA≦16となり、点Pが存在しうる部分の面積は9となることが分かりました。このように、条件に基づいて計算を行い、範囲や面積を求めることができます。