位相空間論の問題：商集合とEuclid空間R³の同相を示す方法

数学の位相空間論に関する問題で、商集合A/~がEuclid空間R³のある部分空間と同相であることを示す問題です。この記事では、問題文の内容を解説し、商集合の構造とその同相性を証明する方法を詳しく説明します。

問題の整理と商集合の定義

問題では、実数全体の集合Rにおいて、A = R² – {(0,0)} という集合に対する同値関係 ~ が定義されています。この同値関係は、v = (x, y) ∈ R² に対して、v ~ v’ ⇔ ∃n ∈ N, v’ = (2^n)v という条件で定義されます。このような商集合A/~を考え、Euclid空間R³の部分空間と同相であることを示します。

商集合A/~の構造

商集合A/~の構造を理解するために、まず同値関係の性質を確認します。v ~ v’の条件によって、vのスカラー倍の関係が定義されています。したがって、商集合は同じ方向にあるベクトルを1つのクラスとして扱うことになります。極座標を使うと、この商集合の形状を直感的に理解しやすくなります。

Euclid空間R³との同相性

次に、この商集合A/~がEuclid空間R³の部分空間と同相であることを示すために、商集合とR³の間に連続かつ全単射な写像を構成します。商集合の各同値類は、極座標で表すと原点から放射される線に沿った集合となります。この性質を利用して、商集合をR³の部分空間に写像する方法を構築します。

写像の構築と証明

商集合A/~の元を極座標で表現し、その結果得られる点をR³の部分空間に対応させる写像を構築します。この写像は連続であり、逆写像も連続であることを示すことで、商集合A/~とR³の部分空間が同相であることが確認できます。

まとめ

この問題では、商集合A/~の構造を極座標を用いて理解し、その同相性を示すために連続で全単射な写像を構成しました。商集合の理解には、同値関係の性質をしっかりと把握し、適切な写像を使って証明を行うことが重要です。