数学の方程式の解の個数の求め方：複雑な問題を分かりやすく解説

数学の問題で解の個数を求める際、さまざまなアプローチが必要です。特に、与えられた方程式を解く過程での変数の取り扱いや、平方完成、判別式を使った解析方法など、複数の手法を使って解の個数を求めます。この記事では、具体的な方程式を例にとり、解の個数をどのように求めるかをステップごとに解説します。

問題の設定と方程式の整理

まず、与えられた方程式は次のように整理できます。

（x²-2x）²-4（x²-2x）-1-a=0

ここで、t=x²-2xとおくことで、方程式をより簡単な形に変換できます。これにより、t²-4t-1-a=0という2次方程式に変形でき、解の個数を求めるための解析がしやすくなります。

解の個数を求めるためのアプローチ

tを新たな変数として使うことで、解を求めやすくなります。具体的には、次のように整理していきます。

• t=-1のとき、x解1個
• t>-1のとき、x解2個

この場合、tの値によってxの解の個数が異なるため、tの範囲を検討し、それに応じた解の個数を求めます。

f(t) = t²-4t-1-a のグラフによる解析

t²-4t-1-a=0という方程式をf(t) = t²-4t-1としてグラフで解析することで、解の個数を調べます。具体的に、グラフがどのように変化するかによって、解の個数を決定できます。

例えば、a<-5のときは解が0個、a=-5のときは解が2個、-54のときは解が2個となることが分かります。

判別式と解の個数の関係

平方完成や判別式を使って、解の個数を求める方法があります。f(t) = t²-4t-1-aの方程式を平方完成すると、t²-4t-1-a = (t-2)²-5-aという形になります。この式において、判別式を使って解の個数を決定することができます。

判別式を使うことで、aの値によって解の個数がどう変化するかを明確に確認できます。具体的には、aが-5未満のとき解0個、a=-5のとき解2個、a>4のとき解2個といった具合に、解の個数が決まります。

まとめ

解の個数を求めるためには、まず与えられた方程式を変数tに置き換え、問題を整理することが大切です。その後、平方完成や判別式を使って解の個数を求める方法を用います。解の個数はaの値によって変化し、場合によっては解が複数存在することもあります。正確に解の個数を求めるためには、問題の変数をうまく扱い、グラフや判別式を活用することが重要です。