大学入試数学では、確率や二項分布を用いた問題がよく出題されます。この記事では、実際の問題を通じて二項分布の理解を深め、どのように解答を導くかを詳しく解説します。
問題の概要と二項分布の基本
問題は、袋に書かれた1、2、3の玉を無作為に取り出して、その数字を記録し、袋に戻すという試行を100回繰り返すという内容です。質問では、2の玉がちょうどk回取り出される確率Pkを最大にするkの値を求めるというものです。
この問題を解くためには、二項分布を利用します。二項分布B(n, p)では、n回の試行で、確率pで成功する事象がk回起こる確率を計算します。ここでは、p = 1/3（2の玉が出る確率）でn = 100回の試行です。
二項分布を使った解法
問題の確率Pkは、以下のように計算されます。
Pk = 100Ck * (1/3)^k * (2/3)^(100-k)
ここで、100Ckは「100回のうちk回成功する組み合わせ数」です。次に、確率Pkの最大値を求めるために、Pk+1とPkの比率を求めます。
P(k+1) / Pk = (100C(k+1) * (1/3)^(k+1) * (2/3)^(100-(k+1))) / (100Ck * (1/3)^k * (2/3)^(100-k))
この比率が初めて1を下回るkを求めることで、最大確率を得るkの値が分かります。
期待値を使った別のアプローチ
あなたが提案したアプローチ、すなわちkの期待値を求める方法も有効です。二項分布において、成功する事象の期待値はn * pであり、ここではn = 100、p = 1/3なので、期待値は100 * (1/3) = 33.3となります。この値が最も高確率で2の玉が取り出される回数であるため、k = 33を選ぶというアプローチも適切です。
実際には、確率Pkが最大になるkの値は、この期待値に最も近い値であるk = 33であると考えられます。二項分布の特性上、確率が最大となるのは期待値付近であるため、このアプローチでの解答は正しいと言えます。
二項分布の理解と適用の重要性
二項分布は統計学だけでなく、確率論の問題にも広く使われます。入試問題で二項分布を適用することは非常に一般的であり、問題の構造を理解することで、効率的に解答を導くことができます。
まとめ
この問題では、二項分布を使って確率Pkを最大にするkの値を求める方法が正解です。期待値を使ってk = 33と求めるアプローチも正しく、二項分布がどのように適用されるかを理解することが、確率の問題を解く上での鍵となります。
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