f(x) = x / (x^2 + 2) の二次導関数の求め方

大学数学における関数f(x) = x / (x^2 + 2) の二次導関数を求める方法を解説します。まず、一次導関数f'(x)が求められた状態から、二次導関数f”(x)をどのように求めるかを見ていきます。

一次導関数の確認

まず、与えられた関数f(x) = x / (x^2 + 2)の一次導関数を求めます。一次導関数は、商の微分法則を使って次のように計算できます。

f'(x) = (-x^2 + 2) / (x^2 + 2)^2

二次導関数の求め方

次に、一次導関数f'(x) = (-x^2 + 2) / (x^2 + 2)^2を微分して、二次導関数f”(x)を求めます。商の微分法則を再度使用して計算します。

f”(x) = d/dx[(-x^2 + 2) / (x^2 + 2)^2]

この微分を行うために、商の微分法則と連鎖律を適用して計算を進めると、最終的に二次導関数が求められます。

二次導関数の最終結果

f”(x)の計算結果は、以下のようになります。

f”(x) = [2(x^2 + 2)^2 + 2x(-x^2 + 2)(2x)] / (x^2 + 2)^4

この結果から、二次導関数がどのように求められたかが確認できます。

まとめ

このように、与えられた関数f(x) = x / (x^2 + 2)の一次導関数から二次導関数を求める際は、商の微分法則を何度も適用することで、最終的に二次導関数が求められることが分かります。商の微分法則や連鎖律を理解することで、微分の問題が解けるようになります。