数学の問題で「tanxsinx + cosx」の式を「1/cosx」に同値変形できることに気づくのが難しいという方も多いかと思います。この記事では、同値変形の考え方をわかりやすく解説し、なぜ「tanxsinx + cosx」と「1/cosx」が同じ式になるのか、そしてその変形のコツを紹介します。
同値変形とは？
同値変形とは、数学において一つの式を別の形に変換しても、その式の値が変わらないという変形のことです。例えば、「tanxsinx + cosx」と「1/cosx」は見た目は違う式ですが、数値を代入して計算すると同じ結果を得ることができます。
このように、式を変形して計算を簡単にしたり、理解しやすくしたりすることは、数学の問題を解く上で重要なスキルです。
「tanxsinx + cosx」と「1/cosx」の同値変形
「tanxsinx + cosx」を「1/cosx」に変形するために、まずはそれぞれの項を分解してみましょう。tanxは「sinx/cosx」と表せるので、tanxsinxは「(sinx/cosx)sinx」となります。これを整理すると、tanxsinx = sin²x / cosx です。
そのため、「tanxsinx + cosx」を式で表すと、sin²x / cosx + cosx になります。次に、この式を共通の分母に揃えると、(sin²x + cos²x) / cosx となり、sin²x + cos²xは恒等式「1」に等しいため、最終的に「1/cosx」という式に変形できることがわかります。
同値変形を見つけるコツ
同値変形のコツは、まず式の各部分を細かく分解して、よく知られている恒等式や定義を活用することです。例えば、tanx = sinx / cosxという基本的な三角関数の関係式を使うことで、式の変形がスムーズになります。
また、式の形を単純化するためには、共通の分母を見つけて分数を整理することが重要です。積極的に分数を使って式を整理し、よく使われる三角関数の恒等式を駆使することで、同値変形がしやすくなります。
練習問題とその解説
同値変形に慣れるためには、実際に問題を解いて練習することが大切です。例えば、次の式を「1/cosx」の形に変形してみましょう。
tanxsinx + cosx = ?
先ほど説明した手順に従って、tanxをsinx/cosxとして置き換え、共通の分母を使って式を簡単にし、最終的に「1/cosx」に変形できます。
まとめ
「tanxsinx + cosx」の式が「1/cosx」になる理由は、基本的な三角関数の恒等式を活用することで理解できます。同値変形を行う際には、まず式を細かく分解し、適切な恒等式を使って簡単化することが重要です。練習を重ねることで、同値変形が得意になり、数学の問題がより簡単に解けるようになります。
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