余弦定理を使った三角形の辺と角度の計算方法：詳細な解説

三角形の辺と角度を求める問題では、余弦定理を使って計算する方法が非常に重要です。この記事では、三角形ABCの辺と角度を求める際の余弦定理の適用方法について、具体的な計算過程をわかりやすく解説します。

余弦定理とは？

余弦定理は、任意の三角形において、2辺とその間の角度を使って、残りの辺の長さを求めるための公式です。余弦定理の式は次のようになります。

a² = b² + c² – 2bc cosA

ここで、a, b, cは三角形の辺の長さ、Aはその間の角度です。この定理を使うことで、角度や辺の長さを計算することができます。

問題は、三角形ABCにおいて、a = √2、c = √3 + 1、B = 45°のとき、残りの辺と角度を求めるものです。この場合、余弦定理を使ってbの長さを求めます。

まず、余弦定理を使ってb²を求める式は次の通りです。

b² = a² + c² – 2ac cosB

ここで、a = √2、c = √3 + 1、B = 45°を代入します。すると。

b² = (√2)² + (√3 + 1)² – 2 × √2 × (√3 + 1) × cos 45°

b² = 2 + (√3 + 1)² – 2 × √2 × (√3 + 1) × (√2/√2)

次に、(√3 + 1)²の展開を行います。

(√3 + 1)² = (√3)² + 2 × √3 × 1 + 1² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3

したがって、b²の式は次のようになります。

b² = 2 + 4 + 2√3 – 2 × √2 × (√3 + 1) × (√2/√2)

b² = 6 + 2√3 – 2 × √2 × (√3 + 1) × 1

この最後の部分で、-2 × √2 × (√3 + 1) × 1の計算が少し難しく感じるかもしれません。実際には、-2√2 × (√3 + 1)の計算を行い、最終的にb²の値を求めることができます。

このように、余弦定理を使うことで、三角形の辺と角度を簡単に計算することができます。

三角形の辺と角度を求める際には、余弦定理を適切に使うことが重要です。計算をステップごとに分解し、各部分を順を追って計算することで、複雑な問題も解決できます。余弦定理を使うコツは、公式を正確に適用し、分解した式を順番に計算することです。