今回の問題は、14個の玉から3個取り出す確率に関する問題です。色や番号が異なる玉を取り出す際の確率を求める方法について、中学受験生向けにわかりやすく解説します。
問題の理解と必要な情報
問題文によれば、次のような玉が与えられています。
- 赤玉4個（番号1, 2, 3, 4）
- 黄玉3個（番号3, 4, 5）
- 緑玉3個（番号2, 3, 4）
- 白玉4個（番号2, 3, 4, 5）
この中から3個の玉を取り出す確率を求める問題です。それぞれの区間における確率を計算するために、組み合わせを使って計算します。
（1）色がすべて異なる確率
色がすべて異なる確率を求めるためには、まず各色の玉を1つずつ選ぶ方法を求めます。
- 赤・黄・緑を選ぶ場合：4C1 × 3C1 × 3C1 = 36通り
- 赤・黄・白を選ぶ場合：4C1 × 3C1 × 4C1 = 48通り
- 黄・緑・白を選ぶ場合：3C1 × 3C1 × 4C1 = 36通り
- 赤・緑・白を選ぶ場合：4C1 × 3C1 × 4C1 = 48通り
よって、色がすべて異なる場合の組み合わせの合計は、36 + 48 + 36 + 48 = 168通りです。この場合の確率は、168 / 364 = 42 / 91 となります。
（2）番号がすべて異なる確率
番号がすべて異なる確率を求めるためには、異なる番号の組み合わせを求めます。
- （123）1C1 × 3C1 × 4C1 = 12通り
- （124）1C1 × 3C1 × 4C1 = 12通り
- （125）1C1 × 3C1 × 2C1 = 6通り
- （134）1C1 × 4C1 × 4C1 = 16通り
- （135）1C1 × 4C1 × 2C1 = 8通り
- （145）1C1 × 4C1 × 2C1 = 8通り
- （234）3C1 × 4C1 × 4C1 = 48通り
- （235）3C1 × 4C1 × 2C1 = 24通り
- （245）3C1 × 4C1 × 2C1 = 24通り
- （345）4C1 × 4C1 × 2C1 = 32通り
このように、番号がすべて異なる場合の組み合わせの合計は、12 + 12 + 6 + 16 + 8 + 8 + 48 + 24 + 24 + 32 = 190通りです。この場合の確率は、190 / 364 = 95 / 182 となります。
（3）色も番号もすべて異なる確率
色も番号もすべて異なる場合の確率を求めるためには、異なる色と異なる番号の組み合わせを求めます。
- （123）4通り
- （124）4通り
- （125）3通り
- （134）6通り
- （135）4通り
- （145）4通り
- （234）18通り
- （235）10通り
- （245）10通り
- （345）12通り
色も番号もすべて異なる場合の組み合わせの合計は、4 + 4 + 3 + 6 + 4 + 4 + 18 + 10 + 10 + 12 = 75通りです。この場合の確率は、75 / 364 となります。
（4）番号の積が6の倍数で、色と番号も異なる確率
番号の積が6の倍数になる場合についても考えます。例えば、（123）や（134）など、番号の積が6の倍数となる場合を求めます。
- （123）4通り
- （134）6通り
- （234）18通り
- （235）10通り
- （345）12通り
この場合の確率は、50 / 364 = 25 / 182 となります。
（5）番号の積が6の倍数となる確率
番号の積が6の倍数である場合を求めるために、次のように計算します。
- 2が1つ、3が1つの組み合わせ
- 2が2つ、3が1つの組み合わせ
- 2が1つ、3が2つの組み合わせ
- 4が1つ、3が1つの組み合わせ
これらを計算した結果、確率は210 / 364 = 105 / 182 となります。
まとめ
この問題では、複数の条件に基づいて確率を計算しました。異なる色や番号を取り出す確率を求める方法を理解し、受験に向けてしっかりと対策をしていきましょう。
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