sin²θ + cos²θ = 1 の式は、θが2θや3θのときに崩れるか？その理由を解説

三角関数の基本的な恒等式である sin²θ + cos²θ = 1 は、θが何であれ成り立ちます。しかし、θが2θや3θのように変更された場合、この式がどうなるのかについて疑問を持つ方も多いです。この記事では、その理由を詳しく解説します。

sin²θ + cos²θ = 1 は常に成り立つ

まず、sin²θ + cos²θ = 1 の恒等式は、θがどんな値であっても常に成り立ちます。この式は、直角三角形の辺の長さの関係に基づいています。三角関数の基本的な性質から導かれたこの恒等式は、任意の角度に対して適用されます。

θが2θや3θに変わった場合

質問の中で示された「θが2θや3θ」というのは、角度の倍数に関するものです。このような場合でも、sin²(2θ) + cos²(2θ) = 1 や sin²(3θ) + cos²(3θ) = 1 の式は依然として成り立ちます。なぜなら、三角関数の性質上、角度が倍数や整数倍に変わっても、この恒等式は変わらないためです。

三角関数の周期性

三角関数は周期的な性質を持っており、特に sin(θ) と cos(θ) は 2π の周期で繰り返しになります。そのため、θが何倍にもなった場合でも、計算の結果は恒等式 sin²θ + cos²θ = 1 に合致します。例えば、θ = 2π、3π、4π のような角度を入力しても、恒等式は常に成立します。

結論

結論として、sin²θ + cos²θ = 1 の式は、θが2θや3θのような倍角に変更されても崩れることはありません。三角関数の基本的な性質と周期性に基づき、この恒等式は常に成り立ちます。したがって、安心してこの式を利用して計算を進めることができます。