増減表の端にxを無限で置くべきかどうかの判断基準

関数の最大値や最小値を求める際に使用される増減表において、端にxを無限大で置くべきか、または具体的な数字で置くべきか、という疑問は多くの高校生が抱えるものです。この疑問に対する答えを、以下でわかりやすく解説します。

増減表の基本的な考え方

増減表とは、関数の増加・減少の範囲を視覚的に把握するためのツールであり、関数の最大値や最小値を求める際に非常に有効です。増減表では、関数の微分を用いて、増加区間と減少区間を区別します。そのため、増減表の端にはxの値をどのように置くかが重要です。

増減表におけるxの端に無限大を置くか、特定の数字を置くかの判断基準は、関数の定義域に依存します。具体的には、関数の定義域が無限に広がる場合（例えば、xが-∞から∞まで取る場合）や、関数の範囲においてxが無限大に近づく場合に無限大を使用します。

一方、関数の定義域が有限である場合、例えばxがある特定の範囲に制限される場合には、具体的な数字を増減表の端に置きます。これにより、関数の最大値や最小値を明確に求めることができます。

例えば、関数f(x) = x²の場合、xは-∞から∞まで取ることができるため、増減表の端にはx = -∞とx = ∞を置きます。このように、関数の定義域が無限の場合は、無限大を増減表に使います。

一方、関数f(x) = √(4 – x²)の場合、xは-2から2の間でのみ定義されるため、増減表にはx = -2とx = 2を使います。このように、定義域が有限の場合には数字を使用します。

増減表において、xの端に無限大を置くか具体的な数字を置くかは、関数の定義域に基づいて判断することが重要です。無限大を使用するのは、関数の定義域が無限に広がる場合、またはxが無限大に近づく場合です。定義域が有限である場合は、具体的な数字を使うことが一般的です。