数学的帰納法を用いた漸化式の証明方法

数学的帰納法は、数列の一般化や漸化式の証明に非常に強力な手法です。特に数列に関しては、ある式が成り立つことを確かめるために利用されます。この記事では、数学的帰納法を使って数列の一般式を証明する方法について詳しく説明します。

数学的帰納法とは？

数学的帰納法は、まず最初の数（ベースケース）で式が成り立つことを確認し、その後、仮定を元に次の数でも成り立つことを示していく方法です。これによって、無限に続く数列や関数などを証明する際に非常に有効です。

質問者の問題では、数列a1=2, a2=4, a3=8からan=2^nと推測できる式に対し、数学的帰納法を用いて証明を行います。まず、この数列が成り立つことを確認し、次に漸化式を導く手順を追っていきます。

まず、a1 = 2が成り立つことを確認します。次に、仮定としてan = 2^nが成り立つとし、その次の項an+1が2^(n+1)であることを示します。具体的には、次のように式を変形していきます。

まず最初に、a1 = 2という最初の項が与えられていることを確認します。これがベースケースです。この時点では問題なく式が成り立っています。

次に、an = 2^nが成り立つと仮定します。この仮定を基にして、an+1 = 2^(n+1)が成り立つかを示します。

an+1の式を展開していくと、仮定に従って2^(n+1)が出てきます。この結果をもとに、数列の一般式an = 2^nが成立することを証明できます。

このように、数学的帰納法を用いることで、漸化式の一般式を証明することができます。最初に仮定を立て、その仮定が次の項でも成立することを示すことで、無限に続く数列でも正確に証明することができるのです。