この問題では、三次元空間上で点Pが定められた領域x² + y² + (z – a)² ≦ 1の中を動くとき、線分OQの動く範囲がどのように体積V(a)に影響するかを求める問題です。Oは原点(0, 0, 0)で、Qは点PからOに向かう単位ベクトルとして定義されています。ここでは、aの値によるV(a)の求め方を具体的に説明します。
問題の整理
与えられた式x² + y² + (z – a)² ≦ 1は、中心が(0, 0, a)で半径1の球体を示しています。点Pはこの球の中に存在し、その位置によって線分OQが決まります。また、Qは点PとOを結んだベクトルを単位化した点です。
V(a)の求め方
V(a)は、点Pがx² + y² + (z – a)² ≦ 1上にあるときの、線分OQの動く範囲が作る体積です。V(a)を求めるためには、まずaの範囲に分けて考える必要があります。具体的なaの値に対してV(a)を求めていきます。
0 ≦ a < 1の場合のV(a)
この範囲では、点Pが球の中に存在し、その位置に応じて線分OQが動きます。球の半径は1で、aが0に近づくほど、点Pが原点に近づきます。V(a)は、aが1に近づくにつれて体積が増大しますが、aが0に近い場合はV(a)が最大となります。この場合の体積は、球の体積に比例します。
a = 1の場合のV(1)
a = 1のとき、点Pはz軸上にあり、球はz = 1を中心とした球となります。この場合、線分OQは原点からz軸上の点Pに向かって伸びており、体積はその範囲内の積分によって求めることができます。
a > 1の場合のV(a)
a > 1の場合、点Pが球外に存在するため、線分OQは異なる動きをします。この場合の体積は、aが1を超えたときに球外に突き抜けた範囲における動きを考慮する必要があります。この計算方法も積分を用いて求めます。
まとめ
この問題では、aの範囲によって体積V(a)がどのように変化するかを求めることが求められています。aの値が変化することで、点Pの位置が変わり、それによって線分OQの動く範囲が変わります。具体的な計算を行うことで、V(a)の値を求めることができます。
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