三角形の面積を変えずに底辺を1/4長くするには高さを何%短くすればよいか

この問題では、三角形の面積を変えずに底辺の長さを1/4長くするために、高さを何%短くすればよいかを求めます。三角形の面積の公式を使って、解法を段階的に説明します。

三角形の面積の公式

三角形の面積は、次の公式で求められます。

面積 = 1/2 × 底辺 × 高さ

問題の条件として、「底辺の長さが1/4長くなる」とあります。底辺が変化するので、高さを適切に調整し、面積が変わらないようにします。

元々の三角形の面積をAとし、新しい三角形の面積もAだとします。元々の底辺をb、高さをhとすると、元々の面積は次のように表されます。

A = 1/2 × b × h

新しい三角形では、底辺が1/4長くなるので新しい底辺は1.25bとなります。新しい高さをh’とすると、新しい面積は次のように表されます。

A = 1/2 × 1.25b × h’

元々の面積Aと新しい面積Aが等しいので、次の式が成り立ちます。

1/2 × b × h = 1/2 × 1.25b × h’

bと1/2は両辺に共通しているので省略できます。

h = 1.25 × h’

つまり、新しい高さh’は元々の高さhの1/1.25倍、つまりh’ = h × 0.8となります。

元々の高さhに対する新しい高さh’の割合は、0.8です。したがって、高さは20%短くなることがわかります。

三角形の面積を変えずに、底辺を1/4長くするためには、高さを20%短くすればよいという結果が得られました。