i の i 乗がなぜ実数になるのか？

複素数の計算では、i（虚数単位）を使った数式がよく登場しますが、i の i 乗が実数になる理由について解説します。

1. 虚数単位 i の定義

まず、i とは虚数単位であり、i² = -1 という性質を持っています。この定義は、虚数の基本的な性質です。虚数単位 i を使うことで、実数だけでは表現できない数を表現できます。

i の累乗を計算するとき、i⁰ = 1、i¹ = i、i² = -1、i³ = -i、i⁴ = 1 というように、4つの周期で繰り返されます。この特性を利用して、i の i 乗を計算することができます。

i の i 乗を計算すると、i^i = e^(-π/2) という結果が得られます。ここで、e はネイピア数（自然対数の底）で、これは実数です。したがって、i の i 乗が実数であることが分かります。

i の i 乗は、複素指数関数の形で計算されます。複素数の指数関数は、オイラーの公式を使って次のように表されます。

i^i = e^(i * log(i))

ここで、log(i) = i * π / 2 として、計算すると、i^i = e^(-π / 2) となります。これは実数です。

i の i 乗が実数になるのは、複素数の指数関数の性質に基づいています。オイラーの公式を使って計算することで、i^i は実数であることが確認できます。