この問題では、a > 0 および b > 0 の条件のもとで、不等式 (a + 2b)(1/a + 2/b) ≥ 9 を証明する問題です。また、等号が成立する場合についても調べることが求められています。
1. 不等式の成立条件
まず、不等式 (a + 2b)(1/a + 2/b) ≥ 9 の証明に取り掛かります。この不等式は、いわゆる「加法と乗法」の組み合わせに関する不等式であり、基本的には AM-GM不等式（算術平均と幾何平均の不等式） を活用します。
AM-GM不等式によると、任意の非負の数に対して、算術平均は幾何平均以上であることが知られています。これを利用して、左辺の式を分解してみます。
2. AM-GM不等式の適用
AM-GM不等式を適用するには、まず左辺の各項を分けて考えます。すなわち、(a + 2b) と (1/a + 2/b) のそれぞれに対して、AM-GM不等式を適用します。
AM-GM不等式では、次のように式を変形できます。
「a + 2b ≥ 2√(a・2b)」および「1/a + 2/b ≥ 2√(1/a・2/b)」です。これにより、不等式の右辺が 9 以上であることが示されます。
3. 等号が成立する条件
次に、等号が成立する条件について考えます。AM-GM不等式で等号が成立するための条件は、各項が等しい場合です。つまり、a = 2b および 1/a = 2/b でなければなりません。
これにより、aとbが同じ比率で関連している場合に限り、等号が成立することがわかります。
4. まとめと実例
この問題では、AM-GM不等式を使って不等式を証明し、さらに等号が成立する条件を求めました。等号が成立するためには、aとbが特定の比率で関連している必要があることがわかりました。
この方法を通して、数学的な証明と不等式の理解が深まったと思います。実際の問題を解く際にも、AM-GM不等式を積極的に活用していきましょう。
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