微分積分の問題解法：(f^2 / g)'(x)の求め方

大学生向けの微分積分問題でよくある、(f^2 / g)'(x)のような積の商の微分の計算方法について、どのようにアプローチすれば良いのか、特に代入後の微分に関して悩む方が多いです。この問題では、f(x) = 2x^2 + x と g(x) = -x^100 という関数が与えられています。

1. 積の商の微分公式を理解する

積の商の微分を求める際には、商の微分法則（商の法則）を使います。商の法則は、次のように表現されます。

 (f/g)' = (f' * g - f * g') / g^2

ここで、f’とg’はそれぞれf(x)とg(x)の導関数です。この法則を使って計算を進めます。

まず、与えられた関数f(x)とg(x)の導関数を求めます。f(x) = 2x^2 + x の導関数は、f'(x) = 4x + 1 です。

次に、g(x) = -x^100 の導関数を求めます。g'(x) = -100x^99 となります。

商の法則を使って(f^2 / g)'(x)を計算します。まず、f(x)^2とg(x)を代入して、それぞれの導関数を用いて式を展開します。

 (f^2 / g)' = (2 * f(x) * f'(x) * g(x) - f(x)^2 * g'(x)) / g(x)^2

これを代入して計算します。式の展開の結果、最終的に計算すると、答えが 2(2x+1)(96x+49) / x^99 となります。

計算を簡潔に行うためのポイントは、商の法則を理解し、各導関数を正確に求めることです。また、複雑な式の展開を丁寧に行うことで、間違いを防ぎつつ正しい答えにたどり着くことができます。

この問題では、商の法則を正しく使用し、与えられた関数の導関数を求めることで、積の商の微分を計算することができました。微分積分の問題では、公式を覚えるだけでなく、しっかりとした計算の流れを理解することが大切です。