行列の1/2乗の定義について：対角化と直交行列の関係

行列の1/2乗の定義について、特に対角化と直交行列を使って定義する方法に関する質問がありました。この解法がWell-definedかどうか、また、異なる直交行列に対して1/2乗の行列が一致するかどうかを解説します。

1. 行列の対角化と直交行列の基本

行列Aが対称行列である場合、Aは直交行列Pを使って対角化できます。すなわち、A=PΛP^Tという形で表され、ここでΛはAの固有値を対角成分として持つ対角行列です。この対角化によって、Aは固有値と固有ベクトルの情報を持つ簡単な形になります。

行列の1/2乗を定義するために、Λの各成分の平方根を取った行列√Λを使います。これにより、√A=P(√Λ)P^Tという形で行列Aの1/2乗が定義されます。しかし、この定義がWell-definedかどうかを検討するには、異なる直交行列PとQについて同じ結果が得られるかを確認する必要があります。

PとQが異なる直交行列である場合でも、P(√Λ)P^TとQ(√Λ)Q^Tが一致するかどうかは、対称行列Aの特性に依存します。対称行列の場合、Λの固有値が同じであれば、P(√Λ)P^TとQ(√Λ)Q^Tは一致することが確認できます。これは、固有値の平方根を取った行列が一意に定まるためです。

したがって、行列の1/2乗を定義する方法はWell-definedです。異なる直交行列PとQに対して、P(√Λ)P^TとQ(√Λ)Q^Tは一致します。これは、対称行列に対して固有値が一意に定まるため、1/2乗の定義も一意となるからです。

行列の1/2乗を定義するために、対角行列Λの平方根を取った行列を使う方法は正しい定義です。また、異なる直交行列に対しても1/2乗の行列は一致することが確認されました。このような性質は対称行列に特有のものであり、固有値に基づいた計算により、確実な結果が得られます。