数学IIIの問題で、次の不等式が与えられています。
1 – x² ≦ e^(-x²) ≦ 1/(1 + x²) ……＊
この不等式を元にして、2/3 < ∫(0→1) e^(-x²) < π/4 を証明する問題が出題されていますが、なぜ等号が消えるのか、疑問に思うことがあります。
1. 等号が消える理由
まず、与えられた不等式 1 – x² ≦ e^(-x²) ≦ 1/(1 + x²) の「＊」部分を確認しましょう。この不等式は、e^(-x²) がどの範囲に収まるかを示していますが、等号が常に成り立たない理由について理解することが大切です。
例えば、e^(-x²) と 1 – x² を比べたとき、x が0に近づくとき、両者が一致する瞬間はないため、等号が成り立つことはありません。ですから、この不等式において「=」が常に成立するわけではなく、むしろ成立しないことを認識する必要があります。
2. 2/3 < ∫(0→1) e^(-x²) の証明
この不等式の証明では、与えられた不等式を利用して、積分値の上限と下限を求めることが求められます。積分に関しては、関数 e^(-x²) が単調減少することを利用し、さらに各関数の積分値が具体的に計算できることを考慮して証明を進めます。
まず、不等式が示す通り、xの増加に伴い、e^(-x²) は急速に小さくなります。そのため、積分範囲において積分の結果も直感的に収束していき、結果として 2/3 < ∫(0→1) e^(-x²) という不等式が成り立ちます。
3. 速い0と遅い∞の関係
ここで重要なのは、「速い0」と「遅い∞」の関係です。この不等式において、e^(-x²) は急速に0に近づくため、速い0とされ、逆に1/(1 + x²) は比較的遅く0に近づきます。この微小な差が、積分の結果に影響を与える要因となります。
4. まとめと理解の助けになるアプローチ
この問題の鍵は、不等式の厳密な定義と、それを積分に適用する方法にあります。等号が消える理由は、関数の性質に起因しており、その理解を深めるためには、関数の挙動や微積分の基礎をしっかりと確認することが必要です。今回の問題に対しては、関数の減少具合を意識し、積分の概念を適切に応用することで解法に辿り着けます。
コメント