交点の位置ベクトルの比の決まりとその解法

交点の位置ベクトルに関する問題では、比を使って交点の座標を求める方法がよく出題されます。しかし、問題に取り組む際に「1-s:s」や「t:1-t」の比の置き方で困ったり、模範解答と異なって係数が合わないことがあります。この記事では、交点の位置ベクトルにおける比の決まりとその解法について解説します。

交点の位置ベクトルと比の置き方

交点の位置ベクトルを求める際には、2つのベクトルを結んで得られる線分の比を使って計算することが多いです。例えば、2つの点AとBを結ぶ直線上にある点Pを、点Aと点Bで区切った比で表す場合、位置ベクトルは次のように表されます。

この式における「s」は、点Aから点Bにかけて点Pがどの位置にあるかを示す割合です。具体的には、sが0のとき点PはA、sが1のとき点PはBになります。

「1-s:s」や「t:1-t」の比は、交点の位置ベクトルを求めるために使われる重要な決まりです。これは、2点を結ぶ直線上での点の位置を、線分を特定の比率で分ける方法です。

例えば、t:1-tという比を使う場合、tが0のとき点Pは点A、tが1のとき点Pは点Bになります。これにより、問題の条件に応じて適切な比を選び、位置ベクトルを求めることができます。

模範解答と異なる結果になる場合は、比を置く方法に誤りがあることが考えられます。まず、問題文の条件に従って、位置ベクトルの比が正しいかを確認しましょう。また、使用する比が逆になっていないか、比の範囲を間違えていないかも確認することが重要です。

例えば、「1-s:s」と「s:1-s」を使う場合では、計算結果が異なります。この違いを理解し、解法の流れに沿って比を正しく置くことが解決の鍵となります。

次に、具体的な計算例を見てみましょう。点A(2, 3)と点B(6, 7)を結ぶ直線上に点Pがあるとき、点Pが点Aと点Bを1:2の比で分けるとします。この場合、点Pの位置ベクトルは次のように求められます。

ここで、(1/3)と(2/3)の比を使い、Pの座標を計算することで位置ベクトルが求められます。

交点の位置ベクトルを求める際、比の使い方は非常に重要です。比をどのように置くか、そしてその計算方法を理解することで、問題を正しく解くことができます。模範解答との違いが出た場合には、比を間違えていないかを確認し、再度解法を見直すことが大切です。